De verdubbelingsformules kunnen nog 's handig van pas komen...
Bij de vergelijking \(1-\sin(\frac{1}{2}x)=\cos(x)\) lijkt het voor de hand te liggen om gebruik te maken van:
\(\cos(2A)=1-2\sin^2(A)\)
Als je \(\cos(x)\) uit kan drukken in \(\sin(\frac{1}{2}x)\) dan heb je kans dat je op iets werkbaars uitkomt. Ook die 1, die mooi wegvalt, is wat dat betreft hoopgevend. Goed kijken naar de dubbelehoekformules voordat je aan de slag gaat.
Er volgt dan:
\(
\eqalign{
& 1 - \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = \cos (x) \cr
& 1 - \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 1 - 2\sin ^2 \left( {\frac{1}
{2}x} \right) \cr
& 2\sin ^2 \left( {\frac{1}
{2}x} \right) - \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 0 \cr
& \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right)\left( {2\sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) - 1} \right) = 0 \cr
& \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 0 \vee 2\sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) - 1 \cr
& \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 0 \vee \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = \frac{1}
{2} \cr
& \frac{1}
{2}x = 0 + k \cdot 2\pi \vee \frac{1}
{2}x = \frac{1}
{6}\pi + k \cdot 2\pi \vee \frac{1}
{2}x = \frac{5}
{6}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& x = 0 + k \cdot 4\pi \vee x = \frac{1}
{3}\pi + k \cdot 4\pi \vee x = 1\frac{2}
{3}\pi + k \cdot 4\pi \cr}
\)
dinsdag 18 december 2018
dinsdag 11 december 2018
Goniometrische vergelijking
Er gaat altijd veel tijd en moeite verloren aan fout geformuleerde problemen. Als de opdracht eenmaal duidelijk is laat het antwoord zich wel raden...:-)
\( \eqalign{ & \frac{{\cos (2x) - \cos \left( {\frac{1} {3}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {\frac{{2x + \frac{1} {3}\pi }} {2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{2x - \frac{1} {3}\pi }} {3}} \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) \cdot \sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = - \sqrt 2 \cr & \sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = \frac{1} {2}\sqrt 2 \cr & x + \frac{1} {6}\pi = \frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x + \frac{1} {6}\pi = \frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \cr & x = \frac{1} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{7} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \cr} \)
Waarbij je de som-naar-product-identiteiten gebruikt...
\( \eqalign{ & \frac{{\cos (2x) - \cos \left( {\frac{1} {3}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {\frac{{2x + \frac{1} {3}\pi }} {2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{2x - \frac{1} {3}\pi }} {3}} \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) \cdot \sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = - \sqrt 2 \cr & \sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = \frac{1} {2}\sqrt 2 \cr & x + \frac{1} {6}\pi = \frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x + \frac{1} {6}\pi = \frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \cr & x = \frac{1} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{7} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \cr} \)
Waarbij je de som-naar-product-identiteiten gebruikt...
Kansberekening
Stel je voor: je wordt opgeroepen om te testen of je een bepaalde zeldzame ziekte onder de leden hebt. Je weet dat de testresultaten in 99% van de gevallen de juiste diagnose stelt (los van de vraag of je de ziekte wel of niet hebt!).
Veronderstel dat deze ziekte slechts bij 1 op de 10.000 mensen voorkomt. De uitslag van de test is positief (dat wil zeggen dat je, volgens de test, de ziekte inderdaad hebt!).
Veronderstel dat deze ziekte slechts bij 1 op de 10.000 mensen voorkomt. De uitslag van de test is positief (dat wil zeggen dat je, volgens de test, de ziekte inderdaad hebt!).
- Wat is dan de kans dat je de ziekte dan ook echt hebt?
zondag 7 oktober 2018
De boekhandelaar
- Hoeveel boeken heeft hij aangekocht ?
Neem voor het aantal boeken n. Dan verkoopt de boekhandelaar n-10 boeken met een winst van €2,50 per boel. Dat is dan 2,5(n-10). De winst moet dan gelijk zijn aan €180.
2,5(n-10)=180
n-10=72
n=82
De boekverkoper heeft 82 boeken aangekocht. Meer moet het niet zijn.:-)
zaterdag 7 juli 2018
dinsdag 3 juli 2018
Boeken
Op
deze pagina kan je allerlei boeken vinden die de moeite waard zijn om
te lezen of om te hebben! Onderstaande pagina's zijn nog in bewerking...
maar je kan vast kijken hoe het gaat worden.
Zebra-boekjes
vrijdag 22 juni 2018
Zorg
"Ik kwam uw site wisfaq.nl tegen, en nodig u hierbij graag uit een gratis link te plaatsen op mijn site...... Deze site richt zich geheel op zorg gerelateerde onderwerpen."
Spam:-)
Sommige mensen komen gewoon van een andere planeet:
"Ik heb een klein verzoek: Zullen we een linkje ruilen? Ik zag op #WisFaq de mogelijkheid om linkjes te plaatsen en zelf kan ik ook een link voor u plaatsen op verschillende pagina's, waaronder ...
Wilt u even laten weten of u hierin geinterresseerd bent? Dan kunnen we de linkruil maken en zo elkaar helpen met onze vindbaarheid in Google. Ik verzoek u pas een link te plaatsen nadat u van mij de juiste link gegevens hebt ontvangen.
Dank voor de reactie!"Jaja... Veel plezier er mee.:-)
woensdag 16 mei 2018
Integratie WisFaq in wiskundeleraar.nl
Neem 's aan dat je op wiskundeleraar.nl een vraag hebt over nog een voorbeeld. Op de pagina kan je dan een knopje vinden zodat je op een pagina komt waar je een vraag kan stellen.
Vul je vraag en de rest in en de vraag komt automatisch in WisFaq te staan. Ik kan dan de vraag aanpassen. aanvullen en beantwoorden.
Voorbeelden
- Een symmetrische verdeling
- Voorbeeld formules combineren
- Steekproef en betrouwbaarheidsinterval
- Routes in een rooster
- Snelheid in kilometer per uur
- Afstand van punt en lijn
- Haakjes wegwerken en herleiden
- Rekenen met matrices
- Logaritmen
- Logaritmen anders schrijven
- Vergelijkingen van lijnen
- Variabelen vrijmaken
- Lijnen en hoeken
- Boxplot en verdelingskromme
- Exponentiële toename
- Een functie met een parameter
- Vuistregels vergelijken boxplots
- Het 95%-betrouwbaarheidsinterval
- De afgeleide van machtsfuncties
- ...
dinsdag 15 mei 2018
donderdag 19 april 2018
zondag 15 april 2018
Dat is dan nog best een aardige opgave
Naar aanleiding van twee goniometrische vergelijkingen. Die '2' gooit roet in het eten... inderdaad. Zonder die '2' was het best een aardig sommetje:
\( \eqalign{ & \cos ^2 (x) - \sin ^2 (x) = 0 \cr & 1 - \sin ^2 (x) - \sin ^2 (x) = 0 \cr & 1 - 2\sin ^2 (x) = 0 \cr & 2\sin ^2 (x) = 1 \cr & \sin ^2 (x) = \frac{1} {2} \cr & \sin (x) = - \sqrt {\frac{1} {2}} \vee \sin (x) = \sqrt {\frac{1} {2}} \cr & \sin (x) = - \frac{1} {2}\sqrt 2 \vee \sin (x) = \frac{1} {2}\sqrt 2 \cr & x = \frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = 1\frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = 1\frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \cr & x = \frac{1} {4}\pi + k \cdot \frac{1} {2}\pi \cr} \)
Nou ja... 't idee was prima...:-)
\( \eqalign{ & \cos ^2 (x) - \sin ^2 (x) = 0 \cr & 1 - \sin ^2 (x) - \sin ^2 (x) = 0 \cr & 1 - 2\sin ^2 (x) = 0 \cr & 2\sin ^2 (x) = 1 \cr & \sin ^2 (x) = \frac{1} {2} \cr & \sin (x) = - \sqrt {\frac{1} {2}} \vee \sin (x) = \sqrt {\frac{1} {2}} \cr & \sin (x) = - \frac{1} {2}\sqrt 2 \vee \sin (x) = \frac{1} {2}\sqrt 2 \cr & x = \frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = 1\frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = 1\frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \cr & x = \frac{1} {4}\pi + k \cdot \frac{1} {2}\pi \cr} \)
Nou ja... 't idee was prima...:-)
zaterdag 14 april 2018
vrijdag 30 maart 2018
Doe 's lollig:-)
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 24 \\
x = 1\frac{1}{2}y \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
1\frac{1}{2}y + y = 24 \\
x = 1\frac{1}{2}y \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
2\frac{1}{2}y = 24 \\
x = 1\frac{1}{2}y \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{24}}{{2\frac{1}{2}}} \\
x = 1\frac{1}{2}y \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{48}}{5} \\
x = 1\frac{1}{2}y \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 9\frac{3}{5} \\
x = 1\frac{1}{2} \cdot 9\frac{3}{5} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 9\frac{3}{5} \\
x = 9\frac{3}{5} + 4\frac{1}{2} + \frac{3}{{10}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 9\frac{3}{5} \\
x = 9\frac{6}{{10}} + 4\frac{5}{{10}} + \frac{3}{{10}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 9\frac{3}{5} \\
x = 13\frac{{14}}{{10}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 9\frac{3}{5} \\
x = 14\frac{4}{{10}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 9\frac{3}{5} \\
x = 14\frac{2}{5} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\)
woensdag 14 maart 2018
donderdag 25 januari 2018
Bewijs zwaartepunt
Wie heeft er een formule voor het berekenen van het zwaartepunt van een driehoek als de 3 hoekpunten bekend zijn?
Antwoord
Tel de coördinaten van de hoekpunten bij elkaar op, en deel ze door 3. Je krijgt dan de coördinaten van het zwaartepunt.
Het zwaartepunt verdeelt elke zwaartelijn in stukken die zich verhouden als 2:1. Je kunt dan (met vectoren) de formule als volgt aantonen:
\( \eqalign{ & \overrightarrow m = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \overrightarrow m + \overrightarrow {MZ} = \overrightarrow m + \frac{1} {3}\overrightarrow {MC} \cr & \overrightarrow {MC} = \overrightarrow c - \overrightarrow m = \overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} + \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2}} \right) = \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \cr} \)
Antwoord
Tel de coördinaten van de hoekpunten bij elkaar op, en deel ze door 3. Je krijgt dan de coördinaten van het zwaartepunt.
Het zwaartepunt verdeelt elke zwaartelijn in stukken die zich verhouden als 2:1. Je kunt dan (met vectoren) de formule als volgt aantonen:
\( \eqalign{ & \overrightarrow m = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \overrightarrow m + \overrightarrow {MZ} = \overrightarrow m + \frac{1} {3}\overrightarrow {MC} \cr & \overrightarrow {MC} = \overrightarrow c - \overrightarrow m = \overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} + \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2}} \right) = \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \cr} \)
maandag 15 januari 2018
Weekpuzzels
De weekpuzzels verschijnen (onregelmatig) op het weblog van wiskundeleraar.
- Weekpuzzels 2013
- Weekpuzzels 2014
- Weekpuzzels 2015 deel 1
- Weekpuzzels 2015 deel 2
- Weekpuzzels 2015 deel 3
- Weekpuzzels 2015 deel 4
- Weekpuzzels 2016
- Weekpuzzels 2016 deel 2
- Weekpuzzels 2017
- Weekpuzzels 2017 deel 2
- Weekpuzzels 2018
- Weekpuzzels 2018 deel 2
- Weekpuzzels 2018 deel 3
Abonneren op:
Posts (Atom)