Pagina's

donderdag 25 januari 2018

Bewijs zwaartepunt

Wie heeft er een formule voor het berekenen van het zwaartepunt van een driehoek als de 3 hoekpunten bekend zijn?

Antwoord

Tel de co├Ârdinaten van de hoekpunten bij elkaar op, en deel ze door 3. Je krijgt dan de co├Ârdinaten van het zwaartepunt.

Het zwaartepunt verdeelt elke zwaartelijn in stukken die zich verhouden als 2:1. Je kunt dan (met vectoren) de formule als volgt aantonen:



\( \eqalign{ & \overrightarrow m = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \overrightarrow m + \overrightarrow {MZ} = \overrightarrow m + \frac{1} {3}\overrightarrow {MC} \cr & \overrightarrow {MC} = \overrightarrow c - \overrightarrow m = \overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} + \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2}} \right) = \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \cr} \)