dinsdag 18 december 2018

Goniometrische vergelijking

De verdubbelingsformules kunnen nog 's handig van pas komen...

Bij de vergelijking \(1-\sin(\frac{1}{2}x)=\cos(x)\) lijkt het voor de hand te liggen om gebruik te maken van:

\(\cos(2A)=1-2\sin^2(A)\)

Als je \(\cos(x)\) uit kan drukken in \(\sin(\frac{1}{2}x)\) dan heb je kans dat je op iets werkbaars uitkomt. Ook die 1, die mooi wegvalt, is wat dat betreft hoopgevend. Goed kijken naar de dubbelehoekformules voordat je aan de slag gaat.

Er volgt dan:

\( \eqalign{ & 1 - \sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) = \cos (x) \cr & 1 - \sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) = 1 - 2\sin ^2 \left( {\frac{1} {2}x} \right) \cr & 2\sin ^2 \left( {\frac{1} {2}x} \right) - \sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) = 0 \cr & \sin \left( {\frac{1} {2}x} \right)\left( {2\sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) - 1} \right) = 0 \cr & \sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) = 0 \vee 2\sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) - 1 \cr & \sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) = 0 \vee \sin \left( {\frac{1} {2}x} \right) = \frac{1} {2} \cr & \frac{1} {2}x = 0 + k \cdot 2\pi \vee \frac{1} {2}x = \frac{1} {6}\pi + k \cdot 2\pi \vee \frac{1} {2}x = \frac{5} {6}\pi + k \cdot 2\pi \cr & x = 0 + k \cdot 4\pi \vee x = \frac{1} {3}\pi + k \cdot 4\pi \vee x = 1\frac{2} {3}\pi + k \cdot 4\pi \cr} \)


Geen opmerkingen :

Een reactie posten