De verdubbelingsformules kunnen nog 's handig van pas komen...
Bij de vergelijking \(1-\sin(\frac{1}{2}x)=\cos(x)\) lijkt het voor de hand te liggen om gebruik te maken van:
\(\cos(2A)=1-2\sin^2(A)\)
Als je \(\cos(x)\) uit kan drukken in \(\sin(\frac{1}{2}x)\) dan heb je kans dat je op iets werkbaars uitkomt. Ook die 1, die mooi wegvalt, is wat dat betreft hoopgevend. Goed kijken naar de dubbelehoekformules voordat je aan de slag gaat.
Er volgt dan:
\(
\eqalign{
& 1 - \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = \cos (x) \cr
& 1 - \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 1 - 2\sin ^2 \left( {\frac{1}
{2}x} \right) \cr
& 2\sin ^2 \left( {\frac{1}
{2}x} \right) - \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 0 \cr
& \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right)\left( {2\sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) - 1} \right) = 0 \cr
& \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 0 \vee 2\sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) - 1 \cr
& \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = 0 \vee \sin \left( {\frac{1}
{2}x} \right) = \frac{1}
{2} \cr
& \frac{1}
{2}x = 0 + k \cdot 2\pi \vee \frac{1}
{2}x = \frac{1}
{6}\pi + k \cdot 2\pi \vee \frac{1}
{2}x = \frac{5}
{6}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& x = 0 + k \cdot 4\pi \vee x = \frac{1}
{3}\pi + k \cdot 4\pi \vee x = 1\frac{2}
{3}\pi + k \cdot 4\pi \cr}
\)
dinsdag 18 december 2018
dinsdag 11 december 2018
Goniometrische vergelijking
Er gaat altijd veel tijd en moeite verloren aan fout geformuleerde problemen. Als de opdracht eenmaal duidelijk is laat het antwoord zich wel raden...:-)
\( \eqalign{ & \frac{{\cos (2x) - \cos \left( {\frac{1} {3}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {\frac{{2x + \frac{1} {3}\pi }} {2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{2x - \frac{1} {3}\pi }} {3}} \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) \cdot \sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = - \sqrt 2 \cr & \sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = \frac{1} {2}\sqrt 2 \cr & x + \frac{1} {6}\pi = \frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x + \frac{1} {6}\pi = \frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \cr & x = \frac{1} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{7} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \cr} \)
Waarbij je de som-naar-product-identiteiten gebruikt...
\( \eqalign{ & \frac{{\cos (2x) - \cos \left( {\frac{1} {3}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {\frac{{2x + \frac{1} {3}\pi }} {2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{2x - \frac{1} {3}\pi }} {3}} \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & \frac{{ - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) \cdot \sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} {{\sin \left( {x - \frac{1} {6}\pi } \right)}} = - \sqrt 2 \cr & - 2\sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = - \sqrt 2 \cr & \sin \left( {x + \frac{1} {6}\pi } \right) = \frac{1} {2}\sqrt 2 \cr & x + \frac{1} {6}\pi = \frac{1} {4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x + \frac{1} {6}\pi = \frac{3} {4}\pi + k \cdot 2\pi \cr & x = \frac{1} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{7} {{12}}\pi + k \cdot 2\pi \cr} \)
Waarbij je de som-naar-product-identiteiten gebruikt...
Kansberekening
Stel je voor: je wordt opgeroepen om te testen of je een bepaalde zeldzame ziekte onder de leden hebt. Je weet dat de testresultaten in 99% van de gevallen de juiste diagnose stelt (los van de vraag of je de ziekte wel of niet hebt!).
Veronderstel dat deze ziekte slechts bij 1 op de 10.000 mensen voorkomt. De uitslag van de test is positief (dat wil zeggen dat je, volgens de test, de ziekte inderdaad hebt!).
Veronderstel dat deze ziekte slechts bij 1 op de 10.000 mensen voorkomt. De uitslag van de test is positief (dat wil zeggen dat je, volgens de test, de ziekte inderdaad hebt!).
- Wat is dan de kans dat je de ziekte dan ook echt hebt?
Abonneren op:
Posts (Atom)