donderdag 25 januari 2018

Bewijs zwaartepunt

Wie heeft er een formule voor het berekenen van het zwaartepunt van een driehoek als de 3 hoekpunten bekend zijn?

Antwoord

Tel de coördinaten van de hoekpunten bij elkaar op, en deel ze door 3. Je krijgt dan de coördinaten van het zwaartepunt.

Het zwaartepunt verdeelt elke zwaartelijn in stukken die zich verhouden als 2:1. Je kunt dan (met vectoren) de formule als volgt aantonen:



\( \eqalign{ & \overrightarrow m = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \overrightarrow m + \overrightarrow {MZ} = \overrightarrow m + \frac{1} {3}\overrightarrow {MC} \cr & \overrightarrow {MC} = \overrightarrow c - \overrightarrow m = \overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} \cr & \overrightarrow z = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2} + \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow c - \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }} {2}} \right) = \frac{1} {3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \cr} \)

Geen opmerkingen :

Een reactie posten